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有理関数の積分の話

数学

1ヶ月ブログ書いて無いとはてなブログから煽られたので, 大学初年度で役に立ちそうな有理関数の積分の話でもしようと思います. ここに書くと長くなるのでpdfを用意しました.

http://cdn60127.exout.net/document/sekibun.pdf

夏季休暇の予定(今更)

雑談

こんにちは, あと2週間ちょいぐらいで後期が始まるけど全然勉強してないことにそろそろ危機感を感じ始めてくる時期ですね. というわけで, これからやっておきたいことをリストアップしておきます.

入学するまでの課題ですね. まあこの辺の科目って今の学科だと全く触れないから向こうに行って2年生の授業を取ることになるんですけれどね.

I科の編入生, 今年は何人来るんでしょうかね. 2, 3人だけとかだったら寂しいなあ.(流石に無いか)

いかに有意義に後期を過ごすかも自分の課題ですね.

編入試験の勉強について

編入試験

忘れないうちにどのような勉強をしてきたかを経歴含め書いておく.

2015年3月

現在在籍中の某私大理学部に合格. そこ以外は全部落ちた. 実は, このとき国立後期で電通大を受けるか迷っていたが, 結局他のところにしてしまった. この選択は大きなミスだったと思う.

2015年4月-6月

自分がやりたかったのが工学系のことなのに理学部に入ってしまって良いのかと考えていた. この時期やっていた分野 : 線形, 微積

2015年6月-10月

この頃は物理に興味が湧いてきて, 一時期物理学科の転学科試験を受けようかと思ったが, 図書館で過去問を見て一瞬で諦めた. 電通大の編入試験の存在を知ったのはこの頃だった. 自分の所属している学科はそこそこちゃんとした数学をやっていたため, 編入試験の数学の過去問を見て「これいけるんじゃね?」って思った. そこで, もし編入試験を受けることになったら物理は必須だろうと考え, 夏休みは物理を勉強しておけばいいかなって考えた. 数学以外も勉強しておけばどこかで役に立つかもっていうノリで.
この時期やっていた分野 : 偏微分, ベクトル空間, 力学, 電磁気

2015年11月-2016年2月

この頃は, 数学も自分で勉強したほうがいいなって思って1,2冊数学書を買ったりしたが, やはり自分がやりたいのは工学系のことだと感じ, 電通大の編入試験を受験することを決意した. 冬休みから編入試験の勉強を本格的に開始した.
といっても, 期末試験が終わってからはPICマイコンで遊んでいた記憶しか無いが...
この時期やっていた分野 : 重積分, 対角化, 熱力学

2016年3月

2年生前期の授業が始まってしまうと落ち着いて勉強出来ないかなって思ってこの時期はそこそこ勉強した.(といっても1日2, 3時間ぐらい) ちなみに英語はノータッチ. センター試験で140点位しか取れなかった程度の英語力である.
この時期やっていた分野 : いろいろ

2016年4月-6月

前期が始まったが, 極力取る科目を減らそうとしたので割と空き時間はあった. 空きコマは図書館で勉強するようにしてた. 家ではあまり勉強してなかったかな. 家では普段通りにBMSとかやってた.(スクショ見てたら試験2日前まで通常進行でしたね... 流石にもっと勉強しろよっていうねw) 他の受験生には申し訳ないレベルで勉強してないです.
この時期やっていた分野 : 複素関数, 英語

余談

前も書いたけど複素関数は絶対にやっておくべき. 複素積分とかローラン級数とか留数定理とか, あとは位数の定義とか知っておけばだいたいの問題は解ける. あと, 微分方程式の解法が分からないと物理で詰む時があるのでちゃんとやっておいた方がよい.

近況

雑談

久しぶりです.
試験期間だけれど時間割がスカスカな上に2週間に分けて試験が行われているためもう夏休みみたいな感覚です. この間離散数学の試験がありましたが, 単位落としたかもしれない... っていうか試験ムズすぎ. これで点数調整無かったら履修者の半分以上の人が単位落とすんじゃねっていう言い訳をしてみる.
まあ, 去年に比べてかなり手を抜いた感があるから自業自得か. ただ, 通年科目だからまだ可能性はある(はず)... マジで落としそうになったら後期の全休を生け贄にして般教取って単位稼ぐ.
64単位を獲得して清々しい気分で編入できるように努力しよう.(今の大学に退学届出すのちょっと楽しみ)

試験が終わったらまた試験

雑談

合格発表があって一息ついてのんびりしているうちに, 前期の期末試験とかいう非常に面倒なものがやって来る. まあ, うちの学科の期末試験なんてちゃんと勉強してれば単位を落とすことなんてまず無いのだが, そう考えると来年以降全く役に立たないであろう科目群の勉強が実に面倒に感じる. そうなると, 勉強も手抜きになってきて, 成績もガタ落ちするのが容易に予想付く. しかし, 編入してしまえば, 今の成績は無関係なのでなおさらやる気が出ない.

結論

累計64単位以上獲得出来なければ合格を取り消されるという事実だけは頭の中に入れておこう. とりあえず今年度の目標をフル単に設定しておけば問題ないな!

平成28年 電気通信大学編入試験 数学 大問2

過去問解説

問題

$ \boldsymbol{v}_{1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \boldsymbol{v}_{2} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} $ に対して, 線形写像$f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$を次式で定義する. $$ f(\boldsymbol{x}) = (\boldsymbol{x}, \boldsymbol{v}_{1})\boldsymbol{v}_{1} + (\boldsymbol{x}, \boldsymbol{v}_{2})\boldsymbol{v}_{2} \;\;\;\; (x \in \mathbb{R}^3) $$ ただし, $(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{v}_{i})$は, $\boldsymbol{x}$と$\boldsymbol{v}_{i}$の$\mathbb{R}^3$における標準内積とする $(i = 1,2)$.
さらに, $W$を$\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2}$で生成される$\mathbb{R}^3$の部分空間とし, 線形写像$g: W \to W$を $$ g(\boldsymbol{x}) = f(\boldsymbol{x}) \;\;\;\; (\boldsymbol{x} \in W) $$ で定義するとき, 以下の問いに答えよ.
1. $f$の核$\mathrm{Ker}f$の基底を求めよ.
2. $W$の基底$\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2}$に関する$g$の表現行列$A$を求めよ.
3. $A$の固有値をすべて求めよ.

講評

前問に比べればとても簡単で, しかも典型問題ですね.

解説

  1. $ (\boldsymbol{x}, \boldsymbol{v}_i) = \boldsymbol{x}^{\top} \boldsymbol{v}_i $ であるから, $ \boldsymbol{x} = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} $ とすると, $$ f(\boldsymbol{x}) = (\boldsymbol{x}^{\top} \boldsymbol{v}_1) \boldsymbol{v}_1 + (\boldsymbol{x}^{\top} \boldsymbol{v}_2) \boldsymbol{v}_2 = (x+z)\boldsymbol{v}_1 + (y+z)\boldsymbol{v}_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} $$ 次に, $f(\boldsymbol{x}) = \boldsymbol{0}$を解くと, $c \in \mathbb{R}$を任意定数として, $$ \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = c \begin{bmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix} $$ となるから, $\mathrm{Ker}f$の基底は, $$ \left\{ \begin{bmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix} \right\} $$

  2. $ \begin{bmatrix} g(\boldsymbol{v}_1) & g(\boldsymbol{v}_2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{v}_1 & \boldsymbol{v}_2 \end{bmatrix} A $ より, $A$は2次正方行列であるから, $$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} $$ とおける. $g(\boldsymbol{x}) = f(\boldsymbol{x})$ であるから, $$ g(\boldsymbol{v}_1) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix}, \;\;\;\; g(\boldsymbol{v}_2) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} $$ したがって, $$ \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \\ 3 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{11} + a_{21} & a_{12} + a_{22} \end{bmatrix} $$ となり, $$ A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} $$

  3. 固有値を$\lambda \in \mathbb{C}$とおく. $$ |\lambda E - A| = \begin{vmatrix} \lambda - 2 & -1 \\ -1 & \lambda - 2 \end{vmatrix} = (\lambda - 1)(\lambda - 3) = 0 $$ したがって, $$ \lambda = 1, 3 $$

平成28年 電気通信大学編入試験 数学 大問1

過去問解説

この解答が確実に合っているとは保証しません.(間違っていたら教えて下さい.) あくまで個人の解答例であり, 自分の解答と照らし合わせるための材料だと思って利用してください.

問題

3次正方行列$A$と$\mathbb{R}^3$内の平面$P$を次式で定義する. $$ A = \begin{bmatrix} 6 & -18 & 3 \\ 2 & -6 & 1 \\ 4 & -14 & 3 \end{bmatrix}, \;\; P = \left\{\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^3 \Bigg| x - 2y + z = 4 \right\} $$ さらに, 線形写像 $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$を$f(\boldsymbol{x})=A\boldsymbol{x}$で定義する. このとき, 以下の問いに答えよ.
1. $f$の像$\mathrm{Im}f$の次元を求めよ.
2. $\mathrm{Im}f$と$P$の共通部分$l=\mathrm{Im} \cap P$は, $\mathbb{R}^3$内の直線とみなすことができる.
$\mathbb{R}^3$内の原点$O$から直線$l$へ垂線$\mathrm{OH}$を下ろすとき, 点$\mathrm{H}$の座標を求めよ.
3. $\boldsymbol{x} \in P$ かつ $f(\boldsymbol{x}) = \boldsymbol{x}$をみたす $\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^3$を求めよ.

講評

この問題は本番では選ばないほうが良いですね. とても計算が煩雑です. 実際, 大問2の方が圧倒的に簡単です. 電通大では, 大問1,2の線形代数を両方解いて大問5の複素関数を選択しないよりも, 大問1,2のどちらか簡単な方を選択して, 大問5を選択する方が確実に点が取れると思います. 複素関数の勉強は1ヶ月もあれば十分です.

解説

  1. $A$に対して行基本変形を施すと以下のようになる. $$ A = \begin{bmatrix} 6 & -18 & 3 \\ 2 & -6 & 1 \\ 4 & -14 & 3 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \\ 1 & -2 & 0 \end{bmatrix} $$ したがって, $ \dim (\mathrm{Im}f) = 2 $

  2. $\mathrm{Im}f$と$P$は以下のように表される. $$\begin{align} \mathrm{Im}f &= \left\{ \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^3 \Bigg| \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = c_1 \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix}, \;\; c_1, c_2 \in \mathbb{R} \right\} \\ P &= \left\{ \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^3 \Bigg| x - 2y + z = 4 \right\} \end{align}$$ $P$について, $x = 2y - z + 4$であるから, $$ P = \left\{ \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^3 \Bigg| \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = c_3 \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + c_4 \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \;\; c_3, c_4 \in \mathbb{R} \right\} $$ と表すことができる. 次に, $ l = (\mathrm{Im} f) \cap P$ を求める. $\boldsymbol{y} \in l$とすると, $\boldsymbol{y} \in \mathrm{Im} f$かつ$\boldsymbol{y} \in P$であるから, $$ \boldsymbol{y} = c_1 \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix} = c_3 \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + c_4 \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} $$ が成り立ち, 式変形すると, $$ c_1 \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix} + c_3 \begin{bmatrix} -2 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix} + c_4 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} $$ すなわち, $$ \begin{bmatrix} 3 & 3 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & 0 \\ 2 & 3 & 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \\ c_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} $$ となる. これを解くと, $e_1 \in \mathbb{R}$を任意定数として $$ \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \\ c_4 \end{bmatrix} = e_1 \begin{bmatrix} -4 \\ 3 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 12 \\ -8 \\ 4 \\ 0 \end{bmatrix} $$ したがって, $$ \boldsymbol{y} = c_1 \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 3 \\ 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \;c_1\; \\ \;c_2\; \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 3 \\ 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -4 & 12 \\ 3 & -8 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} e_1 \\ 1 \end{bmatrix} = e_1 \begin{bmatrix} -3 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 12 \\ 4 \\ 0 \end{bmatrix} $$ したがって, $$ l = \left\{ \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^3 \Bigg| \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = f_1 \begin{bmatrix} -3 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 12 \\ 4 \\ 0 \end{bmatrix}, \;\; f_1 \in \mathbb{R} \right\} $$ と求まる. $\overrightarrow{\mathrm{OH}} \in l$ であるから, ある$s \in \mathbb{R}$を用いて, $$ \overrightarrow{\mathrm{OH}} = s \begin{bmatrix} -3 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 12 \\ 4 \\ 0 \end{bmatrix} $$ と表される. 一方で, $\overrightarrow{\mathrm{OH}} \perp P$, $P \parallel \begin{bmatrix} -3 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}$ であるから, $$ \left( \overrightarrow{\mathrm{OH}}, \begin{bmatrix} -3 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix} \right) = 0 $$ が成り立つ. これらの2式より, $s = \dfrac{40}{11}$ と求まり, $$ \overrightarrow{\mathrm{OH}} = \frac{4}{11} \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 10 \end{bmatrix} $$ したがって, $$ \mbox{H}\left(\frac{12}{11},\; \frac{4}{11},\; \frac{40}{11}\right) $$

  3. $\boldsymbol{x} \in P$ より, ある$h_1, h_2 \in \mathbb{R}$を用いて, $$ \boldsymbol{x} = h_1 \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + h_2 \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 4 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} h_1 \\ h_2 \\ 1 \end{bmatrix} $$ と表されるから, $$ f(\boldsymbol{x}) = \begin{bmatrix} 6 & -18 & 3 \\ 2 & -6 & 1 \\ 4 & -14 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -1 & 4 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} h_1 \\ h_2 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -6 & -3 & 24 \\ -2 & -1 & 8 \\ -6 & -1 & 16 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} h_1 \\ h_2 \\ 1 \end{bmatrix} $$ $ f(\boldsymbol{x}) = \boldsymbol{x}$ であるから, $$ \begin{bmatrix} -6 & -3 & 24 \\ -2 & -1 & 8 \\ -6 & -1 & 16 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} h_1 \\ h_2 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 4 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} h_1 \\ h_2 \\ 1 \end{bmatrix} $$ すなわち, $$ \begin{bmatrix} -8 & -2 & 20 \\ -3 & -1 & 8 \\ -6 & -2 & 16 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} h_1 \\ h_2 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} $$ これを解くと, $h_1 = h_2 = 2$ となり, $$ \boldsymbol{x} = \begin{bmatrix} 6 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix} $$