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平成28年 電気通信大学編入試験 数学 大問2

過去問解説

問題

$ \boldsymbol{v}_{1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \boldsymbol{v}_{2} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} $ に対して, 線形写像$f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$を次式で定義する. $$ f(\boldsymbol{x}) = (\boldsymbol{x}, \boldsymbol{v}_{1})\boldsymbol{v}_{1} + (\boldsymbol{x}, \boldsymbol{v}_{2})\boldsymbol{v}_{2} \;\;\;\; (x \in \mathbb{R}^3) $$ ただし, $(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{v}_{i})$は, $\boldsymbol{x}$と$\boldsymbol{v}_{i}$の$\mathbb{R}^3$における標準内積とする $(i = 1,2)$.
さらに, $W$を$\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2}$で生成される$\mathbb{R}^3$の部分空間とし, 線形写像$g: W \to W$を $$ g(\boldsymbol{x}) = f(\boldsymbol{x}) \;\;\;\; (\boldsymbol{x} \in W) $$ で定義するとき, 以下の問いに答えよ.
1. $f$の核$\mathrm{Ker}f$の基底を求めよ.
2. $W$の基底$\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2}$に関する$g$の表現行列$A$を求めよ.
3. $A$の固有値をすべて求めよ.

講評

前問に比べればとても簡単で, しかも典型問題ですね.

解説

  1. $ (\boldsymbol{x}, \boldsymbol{v}_i) = \boldsymbol{x}^{\top} \boldsymbol{v}_i $ であるから, $ \boldsymbol{x} = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} $ とすると, $$ f(\boldsymbol{x}) = (\boldsymbol{x}^{\top} \boldsymbol{v}_1) \boldsymbol{v}_1 + (\boldsymbol{x}^{\top} \boldsymbol{v}_2) \boldsymbol{v}_2 = (x+z)\boldsymbol{v}_1 + (y+z)\boldsymbol{v}_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} $$ 次に, $f(\boldsymbol{x}) = \boldsymbol{0}$を解くと, $c \in \mathbb{R}$を任意定数として, $$ \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = c \begin{bmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix} $$ となるから, $\mathrm{Ker}f$の基底は, $$ \left\{ \begin{bmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix} \right\} $$

  2. $ \begin{bmatrix} g(\boldsymbol{v}_1) & g(\boldsymbol{v}_2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{v}_1 & \boldsymbol{v}_2 \end{bmatrix} A $ より, $A$は2次正方行列であるから, $$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} $$ とおける. $g(\boldsymbol{x}) = f(\boldsymbol{x})$ であるから, $$ g(\boldsymbol{v}_1) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix}, \;\;\;\; g(\boldsymbol{v}_2) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} $$ したがって, $$ \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \\ 3 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{11} + a_{21} & a_{12} + a_{22} \end{bmatrix} $$ となり, $$ A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} $$

  3. 固有値を$\lambda \in \mathbb{C}$とおく. $$ |\lambda E - A| = \begin{vmatrix} \lambda - 2 & -1 \\ -1 & \lambda - 2 \end{vmatrix} = (\lambda - 1)(\lambda - 3) = 0 $$ したがって, $$ \lambda = 1, 3 $$